Taux d'accroissement

Définition 

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\). Soit \(a,b\) deux réels tels que \(a\neq b\).
Le taux d'accroissement d'une fonction \(f\) entre \(a\) et \(b\) est \(\boxed {\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}}\).

Propriété

Soit \(m\) et \(p\) deux réels. On considère la fonction affine \(f\) telle que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=mx+p\).
On appelle \(\mathcal{D}\) la droite représentative de la fonction \(f\), dans un repère du plan.

Soit \(\text{A} (a\ ; f(a))\) et \(\text{B}(b\ ;f(b))\) deux points distincts de la droite \(\mathcal{D}\).
Alors le taux d'accroissement de la fonction \(f\) entre \(a\) et \(b\) est égal à \(m\).
Autrement dit, on a : \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=m\).
Le taux d'accroissement de \(f\) est le coefficient directeur de la droite \(\mathcal{D}\).
De plus, si \(b-a=1\), alors on obtient : \(f(b)-f(a)=m\).

Démonstration

Soit \(\text{A} (a\ ; f(a))\) et \(\text{B}(b\ ;f(b))\) deux points distincts de la droite \(\mathcal{D}\).
On a : \(f(a)=m\times a + p\) et \(f(b)=m\times b +p\).
Donc \(f(b)-f(a)=m\times b +p - \left(m\times a +p\right)=m\times b +p - m\times a-p = m\times b - m\times a\) soit \(f(b)-f(a)=m(b-a)\).
Les points \(\text{A}\) et \(\text{B}\) étant distincts, on a \(a\neq b\). Ainsi, on obtient : \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=m\).
 si \(b-a=1\) alors on obtient : \(\dfrac{f(b)-f(a)}{1}=m\) soit \(f(b)-f(a)=m\).

Exemple

Déterminer le taux d'accroissement de la fonction affine \(f\) telle que \(f(2)=-1\) et \(f(-1)=3\).
D'après la propriété, on a  \(m=\dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} = \dfrac{-1-3}{2+1}=-\dfrac{4}{3}\).
Le taux d'accroissement de la fonction affine \(f\) est \(-\dfrac{4}{3}\).